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数学・統計学

『ゼノンのパラドックス』ーウサギは亀には永遠に追いつけない?

更新日:

 

「ゼノンのパラドックス」という言葉を聞いたことがありますか?

 

「ゼノンのパラドックス」とは、「目的地には永遠にたどり着けない」という矛盾(パラドックス)の考え方です

ゼノンのパラドックス

 

今回は『ゼノンのパラドックスーウサギは亀には永遠に追いつけない?』として、

ちょっと興味深い矛盾もどきに解説します。

 

盲点を突かれるような興味深い内容である一方で、まったく難しい話ではないので、明日の話のタネ用にぜひお読みください

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ゼノンのパラドックス/ウサギは亀には永遠に追いつけない?

 

ゼノンのパラドックス「目的地にはたどり着けない?」

 

ゼノンのパラドックスで最も面白い点は「目的地にはたどり着けない」ような感覚に陥ることです。

 

ある目的地に到達するためには、まずその目的地の半分の地点を通過しなければなりませんね。

 

さらに、その中間地点を通過してから目的地を目指すには、そこと目的地との半分の地点を通過する必要があります。

さらにその中間地点と目的地との半分の地点、また半分の地点…、また……。

 

こうすると限りなくゴールには近づくのですが、無限に中間地点ができて、

永遠にゴール地点にはたどり着けないことになります。

 

つまり、私たちが目的地に到着することは不可能です。

これが「ゼノンのパラドックス」そのものです。

 

この「ゼノンのパラドックス」の考え方のどこがおかしいと思いますか?

 

「目的地に着けない」という結論は、明らかに私たちの現実と矛盾します

1m先まで行こうと思えば一歩で行けるのに、永遠につけないということは考えられません。

しかし、目的地の中間地点が永遠に増える以上、確かにいくらやっても目的地への到達は不可能です…。

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ゼノンのパラドックス「カギは時間」

 

では、ゼノンのパラドックスの答えです。

 

これは「時間」という概念を無視していることから生じる「みかけ上の矛盾」です。

 

例えば、目的地まで1秒で到達すると考えましょう。

その場合、中間地点までは何秒かかりますか?

 

そうです、0.5秒(=1/2秒)ですね。

そこから目的地を目指す場合、次の中間地点までは何秒かかりますか?

 

0.25秒(=1/4秒)ですね。

このようにして、「目的地までにある無数の中間地点」に到達するまでの時間をすべて足していってみましょう

最初は1/2秒、次が1/4秒、その次が1/8秒……。

 

すべて足すと、

(1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+(1/32)+(1/64)+……(1/2n)+………。

この答えは限りなく「1秒」に近づきます(収束)

 

つまり、「中間地点を無限に通過しなければいけないから永遠にゴールできない」というのは「1秒以内での出来事」だったわけです。

 

そのため、1秒後にはきちんと目的地に到達できるわけです。

 

今回の「ゼノンのパラドックス」は哲学者のゼノンが提唱したのですが、

彼は「時間」という概念を忘れていたことに加えて、

「無限に続く数字をすべて足したら、答えも無限になる」という勘違いをしていたために頭が混乱してしまったようです。

 

「無限に続く数字を足したら、答えも無限」というのは、意外と忘れがちな事実かもしれません。

 

忘れてしまったときは、今回取り上げたような、

(1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+(1/32)+(1/64)+……(1/2n)+………

という無限に続く足し算を思い出してください。

 

この足し算は、決して1を超えることはありません。

なぜなら、後半にいくにつれて値がどんどんゼロに近づいていくからです。

 

もっとわかりやすく言えば、小数点の 0.000000000000……という長さを更新していっているだけで、

上の位を押し上げることは決してありません。

 

以上のように、少し見方を変えるだけで真実が見えてくるというのは、数学の醍醐味の1つでもあります。

 

ちなみに、「アキレスと亀のパラドックス」というアキレスさんが永遠に亀に追いつけないという「みかけ上の矛盾」も

今回の「ゼノンのパラドックス」です。

 

以上、『ゼノンのパラドックスーウサギは亀には永遠に追いつけない?』でした!

ご朗読ありがとうございました<(_ _)>

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「ゼノンのパラドックスーウサギは亀には永遠に追いつけない?」まとめ

ゼノンのパラドックス

・ ゼノンのパラドックスとは、目的地までの中間地点が永遠に更新されるため、限りなく目的地に近づくがそこにはたどり着けないとする矛盾

・ 矛盾の原因は「時間」の概念を忘れていることに起因する

・ 目的地までの所要時間を t 秒とすると、t 秒以内での距離を分割して考えているに過ぎない

・ よって、 t 秒後には確かに目的地に到達する

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